«Познание и творчество» - задания по математике, 2 тур (8-9 классы)

1. Является ли число 0,123456789101112… рациональным? (5 баллов)
2. Из клетчатого квадрата 50 на 50 вырезали клетчатый квадрат 48 на 48 с тем центром. На какое наименьшее число кусков по границам клеток можно разрезать оставшуюся часть, чтобы из них можно было составить квадрат 14 на 14? (5 баллов)
3. Что больше - или ? (Здесь n! обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n). (5 баллов)
4. Кусок проволоки намотан на цилиндрическую трубу, образуя 10 витков. Длина трубки 9 см, длина ее внешней окружности 4 см. Концы спирали лежат на одной и той же образующей цилиндра. Найти длину проволоки. (5 баллов)
5. В пространстве дана 8-звенная ломаная, вершины которой совпадают с вершинами некоторого куба. Доказать, что одно из звеньев ломаной совпадает с ребром куба. (5 баллов)
6. Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF. Каждая из диагоналей AD, BE, CF делит его на две равные по площади части. Доказать, что AD, BE, CF пересекаются в одной точке. (5 баллов)
7. Докажите, что наименьшее целое число, превышающее делится на 2 ²⁰⁰⁵. (5 баллов)
8. Может ли при каком-нибудь натуральном n число 1²⁰⁰⁵ + 2 ²⁰⁰⁵ + …+n²⁰⁰⁵ делиться на n+2? (5 баллов)
9. Доказать, что квадрат можно разделить на любое число квадратов, большее 5, но нельзя разделить ровно на 5 квадратов. (5 баллов)
10. Можно ли найти такие простые числа x, y, z, что x² + y³ = z⁴? (5 баллов)

	Реклама: