Задания Российского заочного интеллектуально-творческого конкурса по математике

I. Математические задачи на смекалку (от 10 до 50 баллов за каждое задание)

1. У Светы есть дедушка. Ему 72 года. Когда отцу Светы было столько лет, сколько сейчас маме, то тогда маме было вдвое меньше лет, чем сейчас отцу. Когда маме станет столько же лет, сколько отцу теперь, то в сумме их новые возраста дадут возраст деда в настоящий момент. Если возраст Светы умножить на возраст мамы, то получится также возраст деда. Сколько лет Свете?
2. Один человек оставил завещание своим сыновьям такого содержания: “Старший сын должен получить 1000 р. и одну восьмую часть остатка, следующий сын - 2000 р. и одну восьмую часть нового остатка, третий сын - 3000 р. и тоже восьмую часть полученного нового остатка и т.д.” Все сыновья получили наследство поровну. Сколько всего было сыновей и каково количество завещанных денег.
3. Два поезда M и N вышли из города А в город B. Поезд М шел половину времени со скоростью v1, а вторую половину времени со скоростью v2. Поезд N шел первую половину пути со скоростью v1, а вторую половину пути со скоростью v2. Если v1 и v2 не равны, то какой поезд придет в город В?
4. Найти двузначное число, которое в 7 раз больше, чем число его единиц.
5. Выразите единицу, употребив все 10 цифр.
6. Как с помощью шести спичек сложить 4 равносторонних треугольник.

II. Олимпиадные задания (от 20 до 100 баллов за каждое задание).

6-7 классы

1. Числа А и B взаимно просты. Какие общие делители могут иметь числа A + B и A - B?
2. Докажите, что шахматную доску 201х201 можно обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле ровно один раз.
3. Может ли целое число, две последние цифры которого нечетны, быть квадратом другого целого числа?
4. Расстояние от города A до города B (по воздуху) равно 30 км, от B до C - 80 км, от C до D - 236 км, от D до E - 86 км, от E до A - 40 км. Найдите расстояние от E до C.

8-9 классы

1. Решите уравнение x (x+d) (x+2d) (x+3d) = a.
2. Докажите, что для любого простого числа p, отличного от двух и от пяти, существует натуральное число k такое, что в десятичной записи числа pk участвуют только единицы.
3. Замок имеет вид семиугольника, в каждой вершине которого находится сторожевая башня. Каждую из семи стен замка охраняют стражники в башнях, находящихся в концах этой стены. Какое наименьшее количество стражников нужно разместить в башнях, чтобы каждая стена охранялась не менее чем семью стражниками.
4. В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60 градумов. Докажите, что трапеция равнобедренная.

10-11 классы

1. Сумма десяти чисел равна нулю. Сумма всех их попарных произведений также равна нулю. Найдите сумму их четвертых степеней.
2. Дан многогранник. Число сторон всех его граней, кроме одной, делится на данное натуральное число n, большее 1. Докажите, что грани этого многогранника нельзя раскрасить двумя красками так, чтобы соседние грани были окрашены в разные цвета.
3. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Прямые AB и CD пересекаются в точке M, а прямые BC и AD - в точке N. Известно, что BM=DN. Докажите, что CM=CN.
4. За столом сидят несколько мальчиков и пять девочек, а на столе на тарелке лежат 30 булочек. Каждая девочка дала по булочке (с тарелки) каждому знакомому ей мальчику, а затем каждый мальчик дал по булочке (с тарелки) каждой незнакомой ему девочке. После этого оказалось, что все булочки розданы. Сколько было мальчиков?

	Реклама: