Задания по математике

I. Вступительные задачи по математике для обеих возрастных групп.

1. Для каких а, в, с выполнено равенство

2. Берега реки - две параллельные линии. По разные стороны от реки находятся пункты А и В. Где следует построить перпендикулярный берегам реки мост MK, чтобы путь AMKB был бы кратчайшим?

3. Точки A, B,C, D являются вершинами прямоугольника. Найти длину кратчайшего пути, проходящего через эти точки.

4. Найдутся ли на дискотеке два человека, встречающих там одинаковое число знакомых?

5. Из бочки вина перелили ложку в стакан чая, а потом из стакана - ту же ложку полученного коктейля в бочку. Где теперь больше объем посторонней жидкости?

6. От шахматной доски отрезаны два противоположных уголка (а1, h8). Можно ли перекрыть 62 оставшихся поля 31-й доминошкой, покрывающей 2 поля (соседних)?

II. Первая возрастная группа (6-9 классы).

1. Найти х, если

2. Вычислить произведение

3. В арифметической прогрессии S_n=S_m(S_n - сумма первых n членов прогрессии). Найти S_n+m

4. Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, у которой первые 10 членов целые, а остальные нецелые числа? Нельзя ли обобщить эту задачу на случай произвольного n?

5. Можно ли какой-нибудь разносторонний треугольник разрезать на два конгруэнтных треугольника?

6. **Пусть число а >0 удовлетворяет уравнению 1=a+a². Доказать, что любое целое положительное число n можно представить в виде суммы
n=t_-ka^-k+t_-k+1a^-k+1+Е+t₀a⁰+t₁a+Е+t_ka^k,
где число k зависит от n, а t_i равно нулю или единице.

III. Вторая возрастная группа. (10-11 классы)

1. Для каких х верно ?

2. Найти х, если

3. Вычислить сумму x+2x²+3x³+...+nxⁿ.

4. Доказать непериодичность cosx + .

5. *Верно ли, что если среди бандитов есть не начальники, и среди умывающихся каждый месяц не начальников нет бандитов, то не все бандиты каждый месяц умываются?

6. *Доказать, что если а+в+с=1,то a²+b²+c²=1/3.

7. **Докажите, что площадь многоугольника, вершины которого лежат в узлах клетчатой бумаги, равна A+B/2-1, где А - число узлов, лежащих внутри многоугольника, В - число узлов на его сторонах. Как изменится эта формула, если аналогичным образом отыскивать площадь плоской фигуры, граница которой состоит из многоугольников возможно не имеющих общих точек? Верен ли аналог этой формулы для многогранников?

	Реклама: