Задания по математике для 7-8 классов

Каждая задача оценивается по десятибалльной системе.

1. Вершины тысячеугольника занумерованы от 1 до 1000. Начиная с первой, отмечается каждая пятнадцатая вершина (1, 16, 31 и т. д.). Вершины отмечаются до тех пор, пока не окажется, что все отмечаемые вершины уже найдены. Сколько вершин останется неотмеченными?
2. 36 тонн груза упакованы в мешки вместимостью не более 1 тонны. Доказать, что четырехтонный грузовой автомобиль за 11 поездок может перевести этот груз.
3. На столе лежат 15 журналов, полностью покрывая его. Докажите, что можно убрать 7 журналов так, чтобы оставшиеся покрывали не менее 8/15 площади стола.
4. Докажите, что дроби 1000/1993 и 993/1993 имеют одинаковую длину периодов.
5. Доказать, что если сумма кубов трех натуральных чисел делится на 7, то и их произведение делится на 7.
6. Считается, что ученик A учится лучше ученика B, если в большинстве контрольных работ у A оценка выше, чем у B. Приведите пример, когда ученик A учится лучше, чем B, ученик B - лучше, чем C, а ученик С - лучше, чем A.
7. На доске написаны три числа. Когда их стерли и написали их произведение, сумму и сумму их попарных произведений, оказалось, что на доске снова написаны те же числа. Какие числа могли быть первоначально написаны на доске?
8. Доказать, что если квадрат числа начинается с 0,9…9 (100 девяток), то и само число начинается с 0,9…9 (не менее чем 100 девяток).
9. В парке шесть узких аллей одинаковой длины, четыре из которых идут по сторонам квадрата, и две по его средним линиям. По этим аллеям мальчик Коля убегает от папы и мамы. В каждый момент времени все видят друг друга. Смогут ли папа и мама поймать Колю, если он бегает втрое быстрее их?
10. Коля и Витя играют в следующую игру. На столе лежит куча из 31 камня. Мальчики делают ход поочередно, а начинает Коля. Делая ход, играющий делит каждую кучку, в которой больше одного камня, на две меньшие кучки. Выигрывает тот, кто после своего хода оставляет кучки по одному камню в каждой. Сможет ли Коля сделать так, чтобы выиграть при любой игре Вити?
11. Найти двузначное число, которое равно сумме куба числа его десятков и квадрата числа его единиц.
12. Три рыбака договорились весь улов разделить поровну. Первый рыбак разделил улов и разложил рыб в пакеты, сказав, что в каждом пакете по 1 кг 780 г, но второй рыбак заявил, что он верит только весам своего дедушки. Дедушка заявил, что в одном пакете 1 кг 790 г, в другом 1 кг 770 г, а в третьем 1 кг 780 г. Третий рыбак доверял только магазинным весам, которые показали те же результаты, что и весы дедушки, но в другом порядке. Как распределить пакеты между рыбаками, чтобы каждый считал, что он получил не менее 1 кг 780 г.
13. Строится такая последовательность: первый ее член равен 3²⁰⁰³, а каждый следующий член, начиная со второго, равен сумме цифр предыдущего. Найдите десятый член этой последовательности.
14. На одной из двух одинаковых окружностей отмечены 50 красных точек, на другой – несколько синих дуг, сумма длин которых меньше, чем 1/50 длины окружности. Докажите, что можно так наложить первую окружность на вторую, что ни одна из красных точек не окажется ни на одной из синих дуг.
15. Прямоугольник размера 19 на 93 (большая сторона горизонтальна) разделен прямыми, параллельными его сторонам, на единичные квадратики. Первоначально в левом нижнем квадратике стоит фишка. Двое школьников играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается передвинуть фишку на любое количество квадратиков вверх или вправо. Школьник, который не может сделать ход, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?

	Реклама: