Аналитическая записка математике (6-7 классы), 2 тур

На этот раз задачи были предложены попроще, так что и результаты оказались получше. Только две задачи - №6 и №10 оказались не по силам практически всем участникам конкурса. Хочется отметить возросшую математическую грамотность большинства ребят. Надеемся, что и наш конкурс принёс хоть какую-то пользу. Рассчитываем на продолжение сотрудничества в новом учебном году.

Несколько слов о самих задачах:

1. Очевидно, что скорость С составляет 0,9*0,9=0,81 скорости А, поэтому С отстанет от А на 19м. С этой задачей справились большинство ребят, вот некоторые из них:

2. Пусть Юле сейчас X лет, а Юре - Y лет. Когда вместе им станет 5Y, Юре будет 3X, а Юле - 5Y-3X, Юра повзрослеет на 3X-Y лет, Юля на (5Y-3X)-X. Отсюда имеем систему уравнений:

X+Y=26

(5Y-3X)-X=3X-Y

Отсюда, Y=14, т.е Юре сейчас 14лет.

Правильно определить возраст ребят смогли, например, такие конкурсанты:

3. Так как автомобиль проедет весь мост за то время, за которое Иа-Иа пробежит 5/8-3/8=1/4 моста, то скорость Иа-Иа в 4 раза меньше скорости автомобиля, т.е 15 км/ч.

Назовём некоторых авторов, в чьих работах содержались верные ответы:

4. Пусть X - белых лоскутков, тогда черных - (32-X). Так как каждый чёрный граничит с 5-ю белыми, то швов между черными и белыми лоскутами будет 5*(32-X). Так как каждый белый граничит с 3-мя черными, то швов между черными и белыми будет 3X. Отсюда 5(32- X)= 3X; X=20

С этой задачей справились, например, следующие авторы:

5. Если бы такая расстановка была бы возможна, числа от 1 до 10 разбились бы на две группы с одинаковыми суммами, что невозможно, так как сумма всех чисел нечетна (равна 55).

Сделать такое логическое заключение смогли, например, следующие ребята:

6. Надо заметить, что диагонали разных цветов входят независимо друг от друга (пересекаются только друг с другом) и что каждая фигура стоит сразу на двух диагоналях одного цвета. После этого достаточно рассмотреть, например, белые диагонали. В одном направлении их 8, в другом 7. Если бы на каждой стояло нечётное количество фигур, то всё это количество оказалось бы нечётным, т.к диагоналей 7, и чётным, т.к диагоналей 8. Следовательно, такое расположение невозможно. Это решение предложила Екатерина Новикова из Белогорска. Близки к контрольному ответу оказались решения, которые предложили следующие авторы:

7. Так как сумма всех чисел равна 1,1*13+1,11*15=30,95. то в каждой группе сумма чисел должна быть 15,475. а такую сумму из чисел 1,1 и 1,11 получить невозможно. Именно так считают, например, следующие авторы:

8. Проще всего поделить уголком 12033 ... 308 на 19 и заметить, повторение остатков (возможны многие другие решения, все длинные). Это решение смогли увидеть, например, такие ребята:

9. Можно получить. Получили практически все. Назовём имена лишь некоторых:

10. Нетрудно заметить, что числа 19999, 29999, ... 99999 подходят. Если же среди цифр имеется хотя бы одна цифра 8, а на первом месте стоит а, то сумма 8+9+9+9+8*9+8*9+8*9+9*9+9*9+9*9+8*9*9+8*9*9+8*9*9+9*9*9+8*9*9*9+а(8+9+9+9+8*9+…+8*9*9*9)+а = 8999+8999а+а = 9000а+8999

Отсюда видно, что 10000а + bcde <= 9000a + 8999.

Т.е bcde <= 1000а+8999

Сдедовательно, bcde <= 7999(так как а => 1). Значит, в bcde найдется цифра, не превышающая 7. Повторяя рассуждения, приходим к выводу, что в исходном числе, если оно существует, имеются цифры, меньшие 7 и т.д. Окончательно приходим к выводу, что подходящих чисел, исключая вышеназванные, больше нет.

Разобраться с этой задачей смогли, например, такие ребята:

Итоги Российского заочного конкурса по математике среди учащихся 6-7 классов.

Первое место в конкурсе заняла:

Новикова Екатерина (Белогорск, Гимназия искусств, 7 кл.). Поздравляем Екатерину с победой. Вам высылается диплом первой степени и премия в размере 1000 рублей. Поздравляем!

Второе место в конкурсе заняли:

Бычин Андрей (Бийск, Бийский Лицей, 7 кл.) и Половинкин Герман (Нижний Новгород, Гуманитарно-художественная школа, 7 кл.).

Андрею и Герману высылаются дипломы второй степени. Поздравляем!

Третье место в конкурсе заняли:

Коротков Филипп (Челябинск, Школа №89, 6 кл., 81 б.);

Закатей Валерия (Салехард, Школа №2, 6 кл., 80 б.);

Тинькова Елизавета (Оренбург, Гимназия №2, 7 кл., 80 б.).

Поздравляем Филиппа, Валерию и Елизавету! Вам высылаются дипломы третьей степени.

	Реклама: