Аналитическая записка математике (8-9 классы), 2 тур

Рассмотрим ответы и указания к решениям задач:

1. Если число является рациональным, то оно представляется в виде периодической бесконечной десятичной дроби. Если число рационально 0,123456789101112..., то его период не может состоять из одних нулей. Однако, в последовательности десятичных знаков встречаются участки, состоящие из одних нулей сколь угодно большой длины. Следовательно, число иррационально.

Отлично справились с этим заданием: Машковский Артем, ФМЛ №31, Челябинск, 8 кл.; Шафигуллина Альбина, Гимназия №6, Ижевск, 8 кл.; Локтев Сергей, Лицей № 90, Краснодар, 9 кл.; Пузырева Елена, Школа № 1, Менделеевск, 9 кл.; Степанов Игорь, Гимназия №26, Челябинск, 9 кл.

2. Большинство участников правильно указали наименьшее число кусков – 14 и привели схему разреза. Однако необходимо было еще четко объяснить, почему нельзя разрезать число кусков, меньше, чем на 14.

Отлично ответили на это задание такие ребята: Машковский Артем, ФМЛ № 31, Челябинск, 8 кл.; Бриль Роман, УТЛ им. Г. В. Рассохина, Ухта, 9 кл.; Степанов Игорь, Гимназия №26, Челябинск, 9 кл.

3. Большинство участников успешно справились с этой задачей.

4. Если размотать проволоку, то она окажется гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 40 и 9 см. С этим заданием справилось 90% участников.

5. В задаче подразумевалось, что ломаная не имеет самопересечений, иначе легко привести пример нужной ломаной. Заметим, что у куба 6 граней и 4 диагонали, а брать рёбра в качестве звеньев мы не имеем права. Поскольку диагонали куба пересекаются в одной точке, из них звеном ломаной может быть только одна, а из двух диагоналей каждой грани звеном ломаной также может быть только одна. Итого получаем не более 7 звеньев.

Лучше всех с этим заданием справились: Машковский Артем, ФМЛ №31, Челябинск, 8 кл.; Юрченко Кирилл, Школа, Озерки, 8 кл.; Берендяева Елена, Гимназия №11, 9 кл., Дюков Денис, Школа №29, 9 кл., Студеникин Николай, Школа №120, 9 кл., Колесников Антон, Школа №170, 9 кл., Тимофеева Валентина, Гимназия №3, 9 кл., Сильванович Михаил, Школа №129, 9 кл., Самара; Локтев Сергей, Лицей №90, Краснодар, 9 кл.; Степанов Игорь, Гимназия №26, Челябинск, 9 кл.

6. Пусть M – точка пересечения диагоналей AD и BF. Возможны несколько путей рассуждения. Один из них – показать, что AE и BD параллельны, также как и другие две аналогичные пары отрезков, и рассмотреть гомотетию с центром M. Другой путь - взять три точки пересечения диагоналей и сравнить два произведения, включающих по шесть отрезков, исходящих из этих точек. В обоих случаях надо использовать то, что площади треугольников AMB и EMD, и аналогичных им, попарно равны.

Наивысший балл за это задание получил Бриль Роман, УТЛ им. Г. В. Рассохина, Ухта, 9 кл.

7. Так как √3 - 1 < 1, то (√3 - 1)⁴⁰⁰⁸ < 1. Поэтому достаточно показать, что (√3 + 1)⁴⁰⁰⁸ + (√3 - 1)⁴⁰⁰⁸ число целое и делится на 2²⁰⁰⁵. Раскрывая скобки в выражениях (√3 + 1)⁴⁰⁰⁸ и (√3 - 1)⁴⁰⁰⁸ (можно использовать бином Ньютона, но не обязательно), получаем, что нечетные степени числа √3 входят в них с коэффициентами равными по модулю, но с противоположными знаками, поэтому они сокращаются. Очевидно, что четные степени числа √3 - целые. Итак, (√3 + 1)⁴⁰⁰⁸ + (√3 - 1)⁴⁰⁰⁸ - целое число. Поскольку (√3 + 1)² = 4 + 2√3 и (√3 - 1)² = 4 - 2√3, имеем (√3 + 1)⁴⁰⁰⁸ и (√3 - 1)⁴⁰⁰⁸ = 2²⁰⁰⁴((2 + √3)²⁰⁰⁴ + (2 - √3)²⁰⁰⁴). Осталось доказать, что (2 + √3)²⁰⁰⁴ + (2 - √3)²⁰⁰⁴ делится на 2. Раскрывая скобки, опять получаем, что нечётные степени числа √3 сокращаются, а остальные слагаемые содержат степени числа 2, поэтому все они чётны, и. т.д. Отлично справился с этим заданием Степанов Игорь, Гимназия №26, Челябинск, 9 кл.

8. Самое короткое решение предложено Локтевым Сергеем (Лицей №90, Краснодар, 9 кл.).

Обозначим сумму через a_n. Тогда 2a_n = 1²⁰⁰⁵ + (2²⁰⁰⁵ + n²⁰⁰⁵) + (3²⁰⁰⁵ + ( n- 1)²⁰⁰⁵) + … + (n²⁰⁰⁵ + 2²⁰⁰⁵) + 1²⁰⁰⁵. Используя разложение на множители сумму двух нечетных степеней, получаем, что k²⁰⁰⁵ + (n - k +2)²⁰⁰⁵ делится на k + (n - k + 2) = n + 2. Если n > 2, то 2a_n дает при делении на n + 2 остаток 2, и, значит, a_n не делится n + 2. Легко проверить, что при n = 1, 2 число a_n также не делится n + 2.

Успешно решили это задание: Берендяева Елена, Гимназия №11, Самара, 9 кл.; Фролова Ирина, Гуманитарно-художественная школа, Нижний Новгород, 9 кл.

9. Имея данное разбиение на квадраты, можно увеличить количество квадратов на 3, разбив любой из квадратов на 4 равных. Легко разбить квадрат на 6, 7 и 8 квадратов. Увеличивая нужное число раз количество квадратов в разбиении на 3, получаем любое число, большее 5. Покажем, что на 5 квадратов разбить нельзя. Предположим противное. Тогда каждая вершина исходного квадрата принадлежит какому-то квадрату. Очевидно эти 4 квадрата - разные. Осталось показать, что оставшийся многоугольник не будет квадратом. (Это место пропущено многими участниками). Если этот многоугольник имеет стороны, принадлежащие двум или более сторонами квадрата, то он не будет выпуклым, и, значит, он не квадрат. Пусть он имеет только одну сторону, принадлежащую стороне квадрата, например, нижней. Если наш многоугольник есть квадрат, то два верхних квадрата равны (нарисуйте!). Следовательно, левый и правый нижние квадраты равны, а значит, им равен и средний квадрат. Итак, сторона квадрата в нижнем ряду равна 1/3, а в верхнем - 1/2. Тогда боковая сторона исходного квадрата равна 1/3 + 1/2, что невозможно.

Наивысшего результата в этом задании достигли такие ребята: Машковский Артём, ФМЛ №31, Челябинск, 8 кл.; Локтев Сергей, Лицей №90, Краснодар, 9 кл.; Степанов Игорь, Гимназия №26, Челябинск, 9 кл.

10. Первое решение предложено Машковским Артёмом (ФМЛ №31, Челябинск, 8 кл.) и некоторыми другими участниками.

Так как y³ = (z² - x)(z² + x) и, очевидно, z² - x < z² + x, то из простоты y следует, что:

либо , либо .

Рассмотрим первую систему. Из второго уравнения следует x = (y - z)(y + z), поэтому в силу простоты x, получаем:

.

Единственные простые числа, разность между которыми равна 1, - это 3 и 2. Тем самым z = 2, y = 3, x = 5, что противоречит первому уравнению.

Рассмотрим вторую систему. Из первого уравнения следует, что либо x, либо z чётно, т.е. равно 2. Первый случай даёт z² = 2, что невозможно, второй дает z = 2, x = 3, y³ = 7, что также невозможно. Итак, уравнение не имеет решений в простых числах.

Второе решение. Заметим, что если все три неизвестные нечетны, то x², y³ и z⁴ также нечётны, что противоречит уравнению. Поэтому либо y = 2, либо z = 2. В первом случае получаем y³ = (z² - 2)(z² + 2). Из простоты x = 2 y следует, что:

либо , либо .

Решая обе системы, находим, что корни не являются простыми числами. Во втором случае получаем 2³ = (z² - x)(z² + x), и снова рассматриваем две системы, в третьем имеем x² + y³ = 16. Поскольку y³ < 16, получаем y = 2, следовательно, x² = 8, что невозможно. Отметим, что многие участники в целом рассуждали правильно, но не учли, что простое число y имеет следующее разложение на простые множители: y = y * 1.

Третье решение предложено Локтевым Сергеем (Лицей №90, Краснодар, 9 кл.), который заметил, что не только одна из неизвестных обязательно делится на 2, но также одна из неизвестных обязательно делится на 3 (проверьте!), следовательно, они равны 2 и 3. Возникает 6 вариантов, перебор которых показывает, что уравнение не имеет решений в простых числах.

С этим заданием успешно справились также такие ребята: Машковский Артём, ФМЛ №31, Челябинск, 8 кл.; Черников Пётр, Лицей №7, Тихвин, 8 кл.; Юрченко Кирилл, Школа, Озерки, 8 кл.; Берендяева Елена, Гимназия №11, Самара, 9 кл.; Локтев Сергей, Лицей №90, Краснодар, 9 кл.; Степанов Игорь, Гимназия №26, Челябинск, 9 кл.

Настало время подвести окончательные итоги и назвать победителей Российского заочного конкурса по математике (8-9 классы), 2 тур.

Лучших результатов среди учащихся 8 - 9 классов достигли следующие ребята:

Победителем конкурса в этом туре стал:

Степанов Игорь (Гимназия №26, Челябинск, 9 кл.) Поздравляем Игоря с победой и присуждением диплома первой степени и премии в размере 1000 рублей! Молодец!

Дипломами второй степени награждаются:

Бриль Роман (УТЛ им. Г. В. Рассохина, Ухта, 9 кл.), Берендяева Елена (Гимназия №11, Самара, 9 кл.), Локтев Сергей (Лицей №90, Краснодар, 9 кл.). Поздравляем!

Дипломами третьей степени награждаются:

Юрченко Кирилл (Школа, Озерки, 8 кл.); Фролова Ирина (ГХШ, Нижний Новгород, 9 кл.), Машковский Артем  (ФМЛ №31, Челябинск, 8 кл.). Поздравляем!

	Реклама: